\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
\section{轨道稳定性分析}
\footnote{参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/81516953}
我们简要探讨圆周运动粒子的稳定性。
标准的做法或许是运用复杂的分析力学；
但我们将论证，也可以使用纯粹经典力学的语言推导这个有趣的结论。

\subsection*{圆周运动}
假设有一个粒子正在有心力场（比如，重力场）中绕原点做圆周运动，
当粒子处于半径为$r_0$的稳定圆周轨道时，根据向心运动公式：
\begin{equation}
	\frac{GMm}{r_0^2} = m \frac{v_0^2}{r_0}
\end{equation}
而我们知道，粒子角动量的定义
\begin{equation}
	L = r \cdot p = m v r
\end{equation}
因此在$r_0$轨道上稳定运动的粒子的角动量为
\begin{equation}
	\frac{GMm}{r_0^2} = m \frac{v_0^2}{r_0} = \frac{L_0^2}{m r_0^3}
	\Rightarrow
	L_0 = m \sqrt{GM r_0}
\end{equation}

\subsection*{微扰}
现在，假设在某种扰动下粒子的轨道角动量不变，但是其轨道半径变为$r + \delta r$ ($\delta r > 0$)。
一方面，粒子的角动量不变：
\begin{equation}
	L_{real} = L_0
\end{equation}
另一方面，在$r + \delta r$轨道稳定圆周运行上粒子所需要的角动量：
\begin{equation}
	L_{required} = m \sqrt{GM (r_0 + \delta r)}
	 \approx m \sqrt{GM r_0} + \frac{1}{2} m \sqrt{GM r_0} \frac{\delta r}{r_0}
	 = L_0 + \frac{1}{2} L_0 \frac{\delta r}{r_0} > L_0
\end{equation}
可见，当粒子的轨道半径变为$r_0 + \delta r$时，其角动量速度$L_{real}$低于在这一轨道上保持圆周运动所需的角动量$L_{required}$，
因此粒子不能在这一轨道上稳定运动，而将被重力拽回原先的轨道附近。

\subsection*{$d$维情况}
但是，在其他维度，结论依然如此吗？
或许没有人真正测量过高维重力场的规律，但是我们可以合理猜测其形式：
对于重力场或者静电场，其满足如下形式的Gauss方程（省略系数）
\begin{equation}
	\oint \bvec E \cdot \dd \bvec A = \rho
\end{equation}
因为$d$维($d \ge 2$)球面表面积正比于$r^{d-1}$（例如，二维圆弧是$2 \pi r$，三维球面是$4 \pi r^2$），
这意味着场强与力应随$\frac{1}{r^{d-1}}$衰减
$$E, F \propto \frac{1}{r^{d-1}}$$
我们假定力为
\begin{equation}
	F = \frac{\alpha m}{r^{d-1}}
\end{equation}
$\alpha$为系数。那么，将圆周运动中力的公式代换，我们得到：
\begin{equation}
	\frac{\alpha m}{r_0^{(d-1)}} = m \frac{v_0^2}{r_0}
\end{equation}
但是，角动量的形式却保持不变：
\begin{equation}
	L_0 = m r_0 v_0
\end{equation}
因此在$r_0$轨道上稳定运动的粒子的角动量为
\begin{equation}
	L_0 = m \sqrt{\alpha r_0^{(-d+4)}}
\end{equation}
仍然假设在某种扰动下粒子的轨道角动量不变，但是其轨道半径变为$r + \delta r$。
一方面，粒子的角动量保持不变
\begin{equation}
	L_{real} = L_0
\end{equation}
但是，在$r + \delta r$轨道上稳定圆周运行所需要的角动量，关乎重力势能形式：
\begin{equation}
	L_{required} =  m \sqrt{\alpha (r_0+\delta r_0)^{(-d+4)}}
	\approx m \sqrt{\alpha r_0^{(-d+4)}} + \frac{-d+4}{2} m \sqrt{\alpha r_0^{(-d+4)}} \frac{\delta r}{r_0}
	= L_0 + \frac{4-d}{2} L_0 \frac{\delta r}{r_0}
\end{equation}
我们仍然比较在$r+\delta r$处，粒子角动量$L_{real}$以及在此轨道上圆周运动所需的角动量$L_{required}$。
这个比大小的结果仅取决于$\frac{4-d}{2}$的符号：
\begin{itemize}
	\item $d=1$：一维世界无所谓“圆周运动”，因此我们略去不谈。
	\item $d=2,3$: 粒子角动量$<$所需轨道角动量，重力足够强，拽得住粒子
	\item $d = 4$：  粒子角动量$=$所需轨道角动量，粒子可以在微扰后的轨道做圆周运动
	\item $d > 4$： 粒子角动量$>$所需轨道角动量，粒子甚至能逃离重力场！
\end{itemize}
因此，对于$d \ge 4$的高维情况，圆周运动似乎是不稳定的（或者亚稳定的），这意味着高维世界不大可能存在稳定的星系乃至原子结构。
这一来自1800s的有趣结论，Bertrand 定理，似乎部分回答了“世界为什么是三维的”这一奇妙的问题。

顺带一提，$d=2, d=4$的情况很有趣：我们发现，$d=2$时每一个轨道的速度$v= \frac{L}{mr}= \sqrt{\alpha}$相同；
而$d=4$时每一个轨道的角动量$L=m \sqrt{\alpha}$相同，粒子似乎可以随心所欲地切换轨道！

\end{document}
